「懐石料理」と「会席料理」どちらもおなじ「かいせきりょうり」という読みですが、どう違うのでしょうか？

「懐石料理」は元々茶道から産まれており、茶道の心である侘び・寂びを料理として表現します。お茶を頂く前にもてなされる、一時の空腹を満たすための食事ですから「一汁三菜」でもご飯が一番先に出されます。そして季節のお料理と続き、あくまでお茶がメインということになります。「懐石」という名前の由来は、禅宗と深く関連している茶道において、禅宗の厳しい修行の際に空腹や寒さを一時的にしのぐ為、温めた石を懐に入れるという行為から来ていることはご存知の方も多いかもしれません。

一方「会席料理」ですが、こちらは宴席のお料理ですから、お酒を嗜むためのお料理ということになります。ですから「一汁三菜」でもご飯が一番最後なのですね。そしてこのご飯が出されるときには、そろそろお酒はお終いにしましょうというタイミングです。
しかし現代では、何れもほぼ同じような意味合いで使われています。